Нулевой уровень. Тут идёт самая простая операция — добавление единицы. Она как бы определяет в каком порядке идут числа.
Первый уровень. Применив несколько раз эту операцию мы получаем следующую операцию — сложение. Сложение показывает сколько раз нужно добавить единицу к числу. То есть сколько раз нужно применить предыдущую операцию.
Второй уровень. Далее идёт умножение — показывает сколько раз число нужно сложить само с собой. Опять же, сколько раз нужно применить к числу операцию прошлого уровня.
Третий уровень. Возведение в степень — сколько раз нужно умножить число само на себя. Обычно этим всё и заканчивается, но в общем можно продолжать — так при описании числа Грэма пользуются стрелками чтобы показывать операции, которые идут после возведения в степень.
Четвёртый уровень. Для примера возьмём операцию, следующую за возведением в степень — сколько раз число нужно возвести в степень себя же — и применим его к числу три. Обозначим её двойной крышкой: ^^
3^^3 = 3^(3^3) = 3^27 = 7625597484987
Огромное число, и это всего лишь тройка! Как мы видим с ростом уровня операции очень быстро растёт размер числа.
Можно подумать что нас бы спасла научная запись (запись вида (7.62 * 10^12), по даже тут показатель степени при десятке начнёт неудержимо быстро расти при увеличении уровня операции.